Come stimare un segnale per la manutenzione predittiva – La regressione lineare

Come stimare un segnale per la manutenzione predittiva – La regressione lineare
       Scritto da Claudio Vivante

La manutenzione predittiva è un importante strumento di manutenzione che si basa sulla possibilità di stimare i valori futuri di alcune grandezze che caratterizzano un sistema (tipicamente un macchinario, un impianto, o un processo produttivo) tramite particolari modelli matematici allo scopo di individuare in anticipo le anomalie ed i potenziali guasti.

In questo post vedremo un approccio molto utile per costruire algoritmi che utilizzano la regressione lineare per predizione dei segnali, utile per la manutenzione predittiva che verificano automaticamente e in tempo reale eventuali variazioni del sistema sotto osservazione. 

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Lo schema base della manutenzione predittiva è il seguente:

  • misura di grandezze fisiche in tempo reale
  • stima di parametri misurabili (o non misurabili) al tempo t+dt
  • identificazione dello stato del sistema considerato anomalia o di guasto
  • pianificazione delle attività preventive e correttive PRIMA che il sistema giunga alla condizione critica.


Esempi di manutenzione predittiva sono i seguenti:

  • le vibrazioni di una macchina possono segnalare degrado dei cuscinetti o deformazione di particolari parti meccaniche.
  • La temperatura di un motore e la sua corrente assorbita, possono indicare che l’attrito ed eventuali impuntamenti meccanici stanno degradando le caratteristiche funzionali dello stesso
  • la misura di particelle in un lubrificante segnalano il degrado di parti a contatto che si strofinano. Con opportuni sensori si può misurare la composizione dell’olio lubrificante e verificare la salute della macchina.

Della misura delle grandezze fisiche ho già scritto in alcuni post precedenti. Oggi voglio invece soffermarmi sulla stima dei parametri.

Alla base della manutenzione predittiva, vi è senza dubbio la tecnologia capace di fare previsioni (forecast) affidabili. Se gli algoritmi di previsione producono stime errate o con intervalli di affidabilità troppo grandi, sarà poi difficile identificare le anomalie e prendere le corrette decisioni di manutenzione e correzione.

A grandi linee, le previsioni possono essere di due tipologie principali:

  • Previsioni Cross-Sectional (Cross-Sectional Forecasting)
  • Previsioni sulle serei temporali (Time Series Forecasting)

 

Previsioni Cross-Sectional (Cross-Sectional Forecasting)

La stima di parametri di cui non si hanno misure, usando rilevazioni su grandezze che sono state osservate.
Per esempio misurando la vita di componenti elettronici in base alla corrente elettrica che li attraversa e di cui si sono fatti dei test in laboratorio, si vuole prevedere la vita di un componente elettronico utilizzato in particolari condizioni.

 

Previsioni sulle serie temporali (Time Series Forecasting)

La stima di grandezze che cambiano nel tempo e di cui si hanno misure fino all’istante t e di cui si vuole prevederne il valore all’istante t+dt. Tipicamente si possono ottenere misure ad intervalli regolari della nostra grandezza e si cerca di prevederne i valori futuri.
L’esempio più semplice che ci viene in mente è la previsione dei minuti di carica residua dei nostri cellulari, che è stimata in base al consumo che ne abbiamo fatto, e dal modo con cui utilizziamo il telefono.
Nelle serie temporali si è soliti identificare:

  • i trend, ovvero un incremento (o decremento) a lungo termine dei valori.
  • I fenomeni stagionali, ovvero i fenomeni che determinano cambiamenti dei valori in un periodo di tempo che si ripete sempre della stessa durata.
  • I fenomeni ciclici che determinano aumenti e diminuzioni dei valori con fluttuazioni che non hanno sempre la stessa durata, ovvero non sono periodici.

Una delle cose più importanti che bisogna capire quando si analizzano i dati è la tipologia di relazione fra le grandezze misurate. Per fare questo, la visualizzazione grafica con i diagrammi di dispersione (scattered plots) è secondo me veramente importante perché aiuta ad identificare come i dati sono tra loro dipendenti (se lo sono). Nella seguente figura è indicato un esempio di diagramma di dispersione.

linear-regression-scatter-plot

Oggi vorrei approfondire alcuni aspetti del più semplice e più usato dei metodi di stima: la regressione lineare. L’ipotesi di fondo della regressione lineare è che il fenomeno da stima ha un comportamento lineare. Con il metodo dei minimi quadrati si calcolano i coefficienti m e q della retta che useremo per stimare i valori futuri della grandezza che ci interessa predire.

Ma come facciamo a sapere se la grandezza, in base ai valori che abbiamo misurato nel passato, è davvero lineare? Un modo semplice per verificare se il segnale che vogliamo predire è lineare o contiene altre informazioni che non sono contenute nel nostro modello di previsione è analizzare i residui.

 

Analisi dei residui

I residui sono la differenza tra i valori misurati della grandezza e i valori di fitting ottenuti con la retta di predizione ovvero

ei =yi - y’i

Dove ei è il residuo della i-esima misura, yi è l’i-esimo valore misurato e y’i = m’ ti +q’ è il valore stimato all’istante ti.

linear-regression-linear-source-signal

Il grafico sopra mostra 50 misure di un segnale sorgente lineare, con m=0,5 e q=7,5, al segnale sorgente ho sommato un rumore bianco con varianza=1 e con il metodo dei minimi quadrati ottengo m’=0,49 e q’=7,4, molto vicini ai valori del segnale sorgente. Il diagramma dei residui è mostrato nel grafico seguente:

linear-regression-linear-source-signal-residue

Un metodo pratico per verificare la retta calcolata modellizza in modo soddisfacente il segnale da predire è l’autocorrelazione. Calcoliamo l’autocorrelazione dei residui sopra calcolati. Il risultato dell’Autocorrelazione è un diagramma come quello riportato nella seguente figura:

linear-regression-result-of-autocorrelation

e contiamo quanti dei residui hanno un valore compreso nell’intervallo:

±2/√N

con N = numero di misure, nel caso che ho proposto N=50 e ottengo che la soglia è ±2/√50=±0.28

Nell’esempio precedente, il 98% dei residui sono compresi nell’intervallo ±0,28 quindi i residui non sono tra loro correlati ed il rumore sul segnale può essere considerato rumore bianco.

Io suggerisco di calcolare periodicamente l’autocorrelazione dei residui anche per i segnali che sono risultati correttamente stimabili con una retta. Può accadere che fenomeni misurati cambino nel tempo per esempio a causa di malfunzionamenti di qualche parte del sistema sotto osservazione e tali malfunzionamenti si manifestino con segnali additivi sulla grandezza misurata. Il seguente esempio presenta illustra come l’analisi dei residui ci permette di scoprire la variazione del segnale sorgente. Supponiamo che, ad un certo punto, si verifichi un cambiamento nel nostro sistema e al segnale misurato si aggiunga un disturbo sinusoidale di ampiezza 0.5, causato da un qualche malfunzionamento del nostro macchinario sotto osservazione. Le misure che otterremmo sono mostrate nei seguenti diagrammi:

linear-regression-05

Queste sono le misure raccolte. Vi sfido a riconoscere la presenza della sinusoide annegata nel rumore bianco di fondo! Il diagramma dei residui è il seguente:

linear-regression-06

Usando il metodo dei minimi quadrati per il nuovo insieme di misure, ho calcolato m’=0,53 e q’=7,46, valori che non molto differenti dal caso iniziale. Calcoliamo nuovamente l’autocorrelazione dei residui, riportato nel seguente diagramma, e scopriamo che solo 87% dei residui è all’interno dell’intervallo ±0,28.

linear-regression-07

Tipicamente si considera la soglia del 95% per catalogare un rumore come bianco, quindi un programma può dedurre autonomamente che qualcosa è cambiato nel segnale misurato ed è possibile attivare un intervento di qualche tipo da parte di un tecnico per ulteriori verifiche.

 

Conclusioni

Nel caso della regressione lineare con i minimi quadrati, è importante definire un’analisi della bontà del sistema che permette di comprendere se ci sono alterazioni del sistema sotto osservazione. Non è sufficiente verificare se m’ e q’ stimati cambiano nel tempo perché il caso analizzato ha mostrato che con un segnale sinusoidale sommato al segnale misurato, il metodo dei minimi quadrati determina coefficienti molto simili a quelli calcolati quando il disturbo sinusoidale non era presente. Abbiamo utilizzato l’autocorrelazione dei residui per verificare quanti di loro erano compresi nella soglia

±2/√N

Ed abbiamo scoperto che dal valore 98% ottenuto nel caso di rumore bianco, siamo passati al valore 88%. Quando il numero di residui all’interno della soglia calcolata è minore del 95%, significa che il rumore non è bianco e probabilmente il nostro modello non rappresenta tutta l’informazione contenuta nel segnale misurato. Questo approccio mi permette di costruire algoritmi che utilizzano la regressione lineare per predizione dei segnali, utile per la manutenzione predittiva e verificano automaticamente e in tempo reale eventuali variazioni del sistema sotto osservazione. Inoltre è utile utilizzare il test sui residui per capire sin da subito se la regressione lineare è la scelta più adatta per il modello predittivo che vogliamo costruire.


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